Có một điều tôi do dự từ hồi nhỏ, độc nhất là trường đoản cú lúc bắt đầu học xướng âm và đùa nhạc cụ: vày sao người ta cần sử dụng 7 nốt nhạc, với giữa các nốt (có cao độ chũm định, được đo bởi dụng chũm đo tần số chuẩn) gồm thêm “thăng” cùng “giáng” nữa thôi, thế là đủ? phệ lên chút nữa thì giải thích của giáo viên âm nhạc, rằng ngày trước nhà thờ La Mã dùng bài thơ nào đó có 7 từ trên đầu câu được phụ vương cố nào đó dùng từ nắm kỷ 11 để đặt tên cho 7 nốt nhạc… rồi sau cứ vậy theo truyền thống, hiển nhiên lý giải vậy là ko thỏa đáng. Trên sao cụ già Á Đông nhà ta thì chỉ sử dụng hệ 5 nốt. Lúc được học đồ vật lý thì lại càng thắc mắc thêm, sao cao độ của nốt “la” chuẩn là 440 Herzt mà không cao hơn tuyệt thấp hơn? (Tai fan ta rất có thể nghe được từ 20 Hz mang đến 5000 Hz đấy nhé!). Chứng minh tai người ta nói chung bao hàm cao độ nghe khôn cùng “sướng tai” – và hơn nữa có những nốt đi với nhau nghe rất “đã” – vào trường hợp ngược lại thì phải “chướng tai” xuất xắc “nghe ngang phè phè”, bỏng ạ? Vậy đại lý nào để con người ta cảm nhận vì thế (và các “con” khác, thậm chí còn người ở lục địa khác, thời hạn khác) liệu có cảm dìm giống bọn họ không? không thể đơn giản, với có lý giải được chắc chắn không bắt buộc là các nhạc công, nhạc sĩ, ca sĩ… mà buộc phải nhờ tới những nhà công nghệ nghiên cứu bản chất vấn đề!

Cũng cũng như vậy, nếu quan sát vào bầy piano (hay guitar) thì thấy bao gồm 12 “nửa tông” – không giống với các loại bầy như violin, cello, bọn bầu, kèn… rất có thể chơi được cao độ bất kỳ. Mặc dù vậy người ta vẫn so dây của bầy dây cùng với nốt “la” của piano. Còn nếu ai chơi bọn dây như violin ví dụ điển hình đều biết, là nếu để nhẹ ngón tay lên dây đàn ở vị trí ở trung tâm cung đàn, thì sẽ sở hữu cao độ (tần số) gấp hai (điều này thì trọn vẹn là vật lý thôi – độ lâu năm dây ngắn lại hơn đúng một phần mà) – cùng ở dây tối đa của violin thì âm nhạc này được coi là “nốt nhạc thần thánh” vì chưng nghe khôn cùng hay! Nhưng lý do nhỉ? Không dựa vào mấy ông toán học, đồ gia dụng lý cùng sinh học tập thì đố mà lại biết được… Điều này khác hẳn việc “tại sao chỉ tất cả 10 chữ số” và “tại sao chỉ gồm hơn cha chục chữ cái” nhưng vẫn đủ dùng đấy nhé, khác hoàn toàn về bản chất (à, các bạn có biết câu vấn đáp trong 2 trường đúng theo kia không?).

Bạn đang xem: Toán học và âm nhạc

Vậy thảnh thơi xem nhé! các thầy dạy gồm 7 nốt như sau (tên và đúng là lấy từ 1 bài thơ nắm kỷ 11 của Thiên Chúa giáo thật):

Do – Dominus – Chúa Trời;

Re – rerum – đồ chất;

Mi – miraculum – điều kỳ diệu;

Fa – familias рlanetarium – hệ phương diện trời;

Sol – solis – mặt trời;

La – lactea via – dải Ngân Hà;

Si – siderae – thai trời.

Con người từ từ đi tới khối hệ thống ghi music 7 nốt (với “thăng” với “giáng” nữa là 12). Không đơn giản 7 nó thích phù hợp với 7 ngày, 7 đêm, 7 màu mong vồng… còn 12 thích phù hợp với 12 tháng trong năm hay 24 giờ trong ngày đâu, hoàn toàn có thể có trùng vừa lòng thôi nhưng lý do là toán học tập cơ!

“Hòa âm đẹp” là thế nào? Nếu bao gồm hai music với cao độ w1 và w2 thì như dân nhạc biết rằng nếu phần trăm độ cao của chúng bởi 2 (một “ốc-ta”) đã là xác suất rất hay. Giả dụ nó là 3/2 (“quin-ta”) thì cũng tốt đấy, hoặc 4/3 (“quan-ta”) cũng khá. Còn 5/4 (“terxia”) cũng tàm tạm… tên gọi chả đề nghị nhớ đâu, nhưng các nhà phân tích âm nhạc thấy và đúng là nghe xuôi tai rộng thật! vì chưng sao vậy nên nói thật là những nhà khoa học chưa tồn tại câu trả lời đủ sức thuyết phục đâu, nhưng thực tế và vô vàn thực nghiệm cho biết là như vậy! Cần đồng ý Tiên đề 1: “tỷ lệ w2/w1 nếu bằng tích của các phân số, cùng với tử số và chủng loại số là các số nguyên tố cùng số lũy thừa là số nguyên (có thể âm!) càng bé xíu thì thích hợp âm càng hay!”. Ví dụ điển hình 2, 3/2, 4/3 nghe tốt rồi đã đành, nhưng lại 3×5/8 chẳng hạn nghe được, tuy không còn hay lắm nữa. Lệch ra thì dở!

Tiên đề thứ hai là “sự bất biến”: “Quin-ta từ bỏ 7 ‘nửa tông’ đề xuất không cố gắng đổi, bất kỳ nó bước đầu từ nốt nào”. Tức là tỷ lệ tần số nốt “đô” với “son” hay “đô thăng” cùng “son thăng” giỏi “rê” cùng “la”… phần lớn như nhau, và bởi 3/2. Một nhạc điệu hay tác phẩm có thể chơi với những “tông” khác nhau, miễn là bảo toàn tỷ lệ này! Một điều hình như hiển nhiên (nhất là so với ai học piano ngày nay) tuy nhiên lại không thể hiển nhiên chút nào, trường hợp ai cần mẫn nghe hồ hết tác phẩm cổ điển xưa một chút, điều đó chỉ được phát hiện nay và áp dụng từ thay kỷ 18. Chẳng hạn tác phẩm danh tiếng của Bach mà lại được vậy Nguyễn Văn yêu thương dịch ra là “Cờ-la-vơ-xanh thật hài hòa” – nó chính là kết trái của việc áp dụng tiên đề này! Còn nếu như ai nghe các tác phẩm truyền thống cũ hơn sẽ có thể thấy gần như chỗ dường như họ lên dây sai đấy… Ai biết được, chắc rằng nếu bạn trung cổ nghe nhạc văn minh họ cũng có cảm giác ngang phè thì sao?

Có thiết bị là nhì Tiên đề ấy rồi ta bắt đầu đi tìm, bao nhiêu nốt nhạc là “hay” nhất cùng tiện nhất? hotline số yêu cầu tìm ấy là N, ta biết rằng một ốc-ta được chia làm N nốt nhạc và các nốt thông suốt nhau sẽ cao hơn với xác suất tần số “2 lũy vượt 1/N”. Với trong dãy N số ấy phải gồm tần số rất gần cùng với “quin-ta” cùng “quan-ta”, dễ dàng nắm bắt là xác suất tần số của nhì âm này là 3/2:4/3 = 9/8. Nếu hotline hiệu số của số lũy thừa 2 dành riêng cho “quin-ta” cùng “quan-ta” là n thì ta có: “ 2ⁿ/N ≈9/8 ”. Dùng bí quyết logarythm đã có: n ≈ N.0,170 ≈ N/6.

Nếu n=1 thì N=6. Khi đó ta vẫn chỉ có những nốt sau: “đồ”, “rê”, “mi”, “pha thăng”, “son thăng”, “la thăng”, “đô”. Nhưng lúc ấy “qua-ta” với “quin-ta” bị trượt ra phía bên ngoài nhiều quá, tương đối nhiều tác phẩm chả tiến công được!

Nếu n=2 còn N=12 thì ta bao gồm đúng trường hòa hợp như âm nhạc châu Âu tân tiến bây giờ, 12 “nửa tông” với 7 nốt chính! “Quan-ta” với “quin-ta” rất thiết yếu xác, tuy rằng đương nhiên không thể tuyệt đối hoàn hảo được rồi, mà lại tai người phần đông không sáng tỏ được lệch lạc về tần số âm nhạc chỉ vài bố % thôi. Người ngày xưa tất nhiên không dùng toán để tìm, nhưng bởi thực nghiệm họ đã tìm ra phương án về tối ưu rồi!

Thế sao không dùng N=24, tuyệt N=56 chẳng hạn? Câu trả lời dễ đọc thôi: điều đó không tăng được độ đúng mực lên bao nhiêu cả (các chúng ta tự tính đi!) – tai người văn minh chưa riêng biệt được các rơi lệch về cao độ của âm thanh tinh tế và sắc sảo đến vậy – mà phức hợp vô cùng cho người học nhạc, đùa nhạc. Một trong những dụng cụ âm nhạc của Ấn Độ có N=19, vẫn đùa nhạc được minh chứng người ta vẫn học tập được, tuy nhiên sai số của “quin-ta” phần nhiều không được cải thiện!

Chúng ta đã dùng toán học tập để bảo đảm cho phương pháp “7 nốt nhạc” của âm thanh ngày nay. Cũng tương tự vậy, các phần tiếp theo hoàn toàn có thể dùng toán học và các môn kỹ thuật khác nhằm soi sáng sủa về gam hay giọng “trưởng”, “thứ”, âm giai, hòa âm… Còn nếu như ai nghe cô giáo nhạc nói rằng “bài này vui, đề xuất dùng gam đô trưởng” tuyệt “bài này bi tráng lắm, chơi la trang bị đi” nhưng không thấy vướng mắc gì thì hoàn toàn có thể bỏ qua, giống hệt như lái ô tô, tất cả thể chỉ việc tay lái lụa chứ hộp động cơ máy xăng hay sản phẩm công nghệ dầu khác gì nhau kệ đi. Nhưng ai đã tò mò thì lưu giữ đừng gồm hỏi mấy ông nhạc sĩ, kẻo lại bị mắng oan đấy nhé! các ông ấy chỉ biết lên dây thôi…

Ghi chú:

1) Theo status trên ta đề nghị nhớ số đặc biệt nhất trong âm thanh châu Âu tiện nghi là: log₂ 3 ≈ 19/12.

2) một vài nhà “cách tân” ý muốn đưa thêm nhiều nốt nhạc vào sử dụng, để tạo nên nhiều hiệu ứng hơn, không thì “âm nhạc sắp ngã ngũ rồi vì chỉ bao gồm “83 521 đúng theo âm cả thảy” – theo tôi là còn thọ mới đề xuất thiết, nhưng chắc hẳn rằng 20-30 năm nữa music sẽ khác chăng?

3) Đầu năm ví như ai thích “ong thủ” thì xin mời xem thêm ở phía trên chẳng hạn: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3271183/

4) Cao độ nốt La = 440 Hz là của Đức quốc làng ban hành, những nhạc sĩ châu Âu tranh đấu đòi dùng chuẩn chỉnh 432 Hz mà không được, rất tác động đến toàn buôn bản hội… Tôi cũng đã viết về điều này. Âm nhạc (âm thanh) có chức năng khủng tởm đấy, cần tiếp tục nghiên cứu rất quan trọng.

Chúng tôi quyết định tạo chủ đề này để cho biết Toán học tập có liên quan đến Âm nhạc, bởi vì nhiều bạn bỏ qua thực tiễn là gồm Toán học trong Âm nhạc. Hoàn toàn có thể bạn không mê thích Toán, dẫu vậy đừng lo, công ty chúng tôi sẽ cố gắng giải thích từng khái niệm một cách đối chọi giản, bạn chỉ cần phải biết rằng sự nhạy bén cảm đối với âm thanh được kết nối một cách xúc tích trong khối óc của bọn chúng ta. Điều này thực thụ thú vị, vày vậy hãy để định kiến của chúng ta sang một bên. Tất cả các kiến thức và kỹ năng đều lý thú và hữu ích.

Trước khi đi cho chủ đề Toán học trong Âm nhạc, hãy lưu giữ lại một số trong những khái niệm cơ bản.

Vật lý trong âm nhạc

Như bọn họ đã biết, âm nhạc là dạng sóng và tần số của music là yếu tố để xác định nốt nhạc. Nhưng mà tần số là gì? Đó là sự việc lặp lại. Hãy tưởng tượng, ví dụ một bánh xe đạp điện quay, nếu bánh xe chấm dứt một vòng trong một giây, chúng ta nói rằng tần số của bánh xe cộ này là “một vòng mỗi giây”, hoặc “một Hertz”. Hertz chỉ là một trong tên đại diện cho một đơn vị chức năng tần số, cùng thường được viết tắt là “Hz”. Trường hợp bánh xe cộ này trong ví dụ như của chúng ta hoàn thành 10 lượt từng giây, tần số của nó sẽ là 10 Hertz (10 Hz).

Rất hay, tuy thế nó liên quan đến âm thanh tại vị trí nào? Vâng, âm thanh là 1 trong những làn sóng, với sóng này xấp xỉ ở một tần số độc nhất định. Nếu một sóng âm thanh chấm dứt một xấp xỉ trong một giây, tần số của chính nó sẽ là 1 trong những Hz. Trường hợp nó xong xuôi 10 giao động trong một giây, tần số của nó sẽ là 10 Hz. Đối với từng tần số, chúng tôi sẽ tất cả một âm thanh khác nhau (cho các nốt nhạc khác nhau). Ví dụ, nốt La (A) tương xứng với tần số 440 Hz.

Toán học trong âm nhạc

Và Toán học lấn sân vào đâu vào Âm nhạc? bạn ta quan gần kề thấy rằng khi một tần số được nhân cùng với 2, công dụng vẫn cùng một nốt. Ví dụ, A (440 Hz) nhân cùng với 2 = 880 Hz cũng vẫn chính là A, nhưng tại một octave (quãng tám ) cao hơn. Nếu phương châm là nhằm hạ thấp xuống một quãng tám, chỉ cần chia mang đến 2. Bạn cũng có thể kết luận như sau, một nốt cùng nốt tương ứng của nó gồm một quan hệ với ½.

Rất tốt, trước lúc tiếp tục, hãy trở về thừa khứ mang đến Hy Lạp cổ đại. Trong thời hạn đó, tất cả một người lũ ông tên là Pythagoras đã triển khai những mày mò thực sự quan trọng đối cùng với Toán học tập (và Âm nhạc). Điều mà cửa hàng chúng tôi đã cho thấy thêm về quãng tám, ông phát hiện tại ra bài toán “chơi” với một sợi dây được kéo căng. Hãy tưởng tượng một gai dây được kéo căng buộc chặt ở nhị đầu. Khi họ chạm vào tua dây, nó rung lên(nhìn hình vẽ bên dưới):

*

Pythagoras ra quyết định chia sợi dây này thành nhị phần và đụng vào từng phần một lần nữa. Âm thanh được tạo thành giống nhau, tuy vậy chói rộng (bởi bởi nó y như một nốt nhạc cao hơn nữa một quãng tám):

*

Pythagoras không dừng chân tại đó. Ông ra quyết định trải nghiệm nó sẽ thế nào nếu sợi dây được tạo thành 3 phần:

*

Ông nhận ra một âm nhạc mới xuất hiện. Khác với tác dụng lần trước, lần này, nó ko phải là 1 trong nốt tương tự như một quãng tám sinh sống trên mà là 1 trong nốt khác, gợi nhắc là vẫn nhận được một chiếc tên mới. Âm thanh bắt đầu này, ở kề bên sự khác biệt, kết hợp xuất sắc với music được tạo nên trước đó, tạo sự hài hòa dễ chịu cho đôi tai. Cũng chính vì những phép phân chia này cho biết thêm ở đây có mối quan hệ Toán học 1/2 và 2/3 (bộ não của chúng ta thích các mối quan hệ lô ghích được khẳng định rõ ràng).Cứ như vậy, ông thường xuyên làm những phép phân chia và kết hợp các âm nhạc theo các nguyên tắc toán học để tạo nên các cung bậc trong thang âm, sau đó, ông khích lệ việc tạo nên các nhạc cụ rất có thể chơi trên thang âm này. Lấy ví dụ về quãng tam cung (tritone), chiếm được trong mối quan hệ tỉ lệ 32/45, một quan hệ tỉ lệ phức tạp và thiếu chính xác, yếu ớt tố tạo nên bộ óc của bọn họ xem xét âm thanh này tạm thời và tạo căng thẳng. Theo chiều hướng đó, các nốt nhạc đã dần dần nhận được các cái tên mà họ biết như ngày nay.

Xem thêm: Giải toán lớp 5 giải toán về tỉ số phần trăm lớp 5 (ôn thi vào lớp 6)

Toán học cùng thang âm

Nhiều dân tộc bản địa và các nền văn hóa không giống nhau đã tạo ra các thang âm của riêng rẽ họ. Một lấy ví dụ là người Trung Quốc, bắt đầu với ý tưởng của Pythagoras (sử dụng dây).

Họ đùa nốt C bằng cách căng gai dây và sau đó chia gai dây này thành 3 phần, như cửa hàng chúng tôi đã trình bày trước đây. Hiệu quả của phép phân tách này là nốt G. Phân biệt rằng phần lớn nốt nhạc này có sự hài hòa, họ lặp lại quy trình ban đầu từ G, phân chia lại gai dây này thành 3 phần, kết quả là nốt D. Nốt này còn có sự hài hòa dễ chịu và thoải mái với G và tương tự như với C. Quá trình này tiếp nối được lặp lại bắt đầu từ D, kết quả là A. Sau đó, bắt đầu từ A, họ cảm nhận E.

Khi chúng ta lặp lại quá trình chia gai dây này thành tía phần một lần nữa, kết quả là B. Đã xảy ra sự núm ở đây, bởi vì B không phù hợp khi nghịch với C (nốt thứ nhất của demo nghiệm). Trên thực tế, số đông nốt này siêu gần nhau, nhưng điều gì gây ra một “âm thanh khó khăn chịu”.

Bởi bởi điều này, người trung quốc đã ngừng các phép chia của họ và kết quả là nhấn được những nốt nhạc C, G, D, A cùng E, để B qua một bên. đông đảo nốt này được sử dụng làm đại lý cho Âm nhạc Trung Hoa, tạo thành thang âm cùng với 5 nốt nhạc (Ngũ Cung). Thang âm Ngũ cung này, vì sự thoải mái và hài hòa, thể hiện rất tốt Văn hóa Phương Đông, luôn được kết hợp hài hòa và hợp lý và ổn định.

Kể từ lúc được sinh sản ra cho tới ngày hôm nay, thang âm Ngũ cung mang về một lựa chọn xuất sắc cho việc thể hiện giai điệu, như chúng tôi đã nói trong chủ đề “Thang âm Ngũ cung”. Tuy vậy hãy trở về chủ đề các nốt và tần số, bởi vì chúng tôi chỉ bộc lộ 5 nốt của thang âm.

Toán học tập trong 12 nốt nhạc

Âm nhạc phương Tây, hoạt động với 12 nốt nhạc, không thải trừ nốt B như Âm nhạc phương Đông. Những người phương Tây quan sát thấy rằng các nốt C cùng B gần gụi với nhau và quyết định tạo nên một thang âm trọn vẹn hơn. Vào thang âm này, tất cả các nốt đề xuất cách nhau cùng khoảng chừng cách. Và khoảng cách này cần là quãng âm giữa C với B (một cung cấp cung – semitone). Nói bí quyết khác, ví dụ thân C cùng D, nên gồm một nốt trung gian, chính vì khoảng phương pháp giữa C và D (một cung) lớn hơn khoảng cách của C với B (một phân phối cung – semitone). Trải qua phân tích tần số, fan ta phát hiện rằng tiến hành phép nhân tần số của nốt B với số 1.0595 bọn họ sẽ có tần số của nốt C. Kiểm tra:

Tần số B: 246,9 Hz
Tần số C: 261,6 Hz
Nhân tần số B cùng với 1,0595 chúng ta sẽ có: 246,9 x 1,0595 = 261,6 Hz (nốt C).Vì mục tiêu là duy trì mối tương tác chung (khoảng cách) với những nốt khác, họ sẽ sử dụng quy trình này để khám phá nốt nào sẽ đến sau C.Nhân tần số C cùng với 1,0595: 261,6 x 1,0595 = 277,2 Hz (nốt C#)Lặp lại các bước này giúp xem điều gì xảy ra sau nốt C#: 277,2 x 1,0595 = 293,6 Hz (nốt D)

Lưu ý rằng theo xúc tích và ngắn gọn này, chúng ta có thể tạo ra tất cả các bậc vào thang âm nửa cung! Nói cách khác, sau khoản thời gian nhân tần số C với số “1,0595” mười nhị lần, họ sẽ quay trở về C. Điều này là gồm thể bởi vì “1,0595” tương xứng với hiệu quả của căn bậc mười nhì của 2, 12√2. để ý rằng 12√2 nhân 12 lần cho chủ yếu nó là (12√2) 12 = 2. Và chúng ta đã thấy rằng (tần số) một nốt nhân cùng với 2 bởi chính nó cơ mà nằm trong suốt tám sống trên.

Bây giờ chúng ta cũng có thể thấy rõ rằng những con số này không đến một giải pháp tình cờ. Phương châm ngay từ trên đầu đã phân tách thang âm thành 12 phần như nhau nhau, theo cách mà nốt sau cuối trở lại là nốt đầu tiên.Đại loại vì vậy mà Thang 12 âm bình quân luật (Equal temprate scale) xuất hiện, còn gọi là Chromatic.

Logarithm vào âm nhạc

Chúng tôi sẽ không còn đi vào nhiều chi tiết, nhưng những người dân biết một chút về Toán rất có thể nhận thấy rằng công việc của cửa hàng chúng tôi ở đây với sự góp mặt của lôgarit cơ số 2. Chính vì điều này mà những nhà sản xuất bọn piano đặt vẻ ngoài đồ họa logarit vào dáng vẻ thân bầy piano, nhằm tham chiếu với những ứng dụng của mày mò Toán học cùng Âm nhạc. Kiểm soát nó:

Ví dụ về hình ảnh Logarit:

*

Thân đàn piano:

*

Có cực kỳ nhiều phân tích và lý giải Toán học khác mang đến nhiều câu hỏi về Âm nhạc, tuy thế để trình diễn ở đây sẽ đề xuất phải kể tới các nhà đề cải thiện trong Toán học, giống hệt như Fourier series, Riemann Zeta Function…v.v. Siêu ít người trong họ có đại lý Toán học này nên shop chúng tôi sẽ ko đi sâu hơn.

Mục tiêu của họ ở đấy là để thấy Âm nhạc chuyển động như vắt nào và biện pháp hiểu được các mối quan tiền hệ xúc tích và ngắn gọn trong khối óc của bọn chúng ta, chúng tạo nên sự bình yên giỏi căng thẳng. Rõ ràng, cửa hàng chúng tôi đã minh chứng tất cả phần đa thứ bằng cách sử dụng số đông số liệu xê dịch (số vòng), bởi vì phân tích chính xác hơn sẽ gây nên nhàm chán với đa phần độc giả.

Không quan trọng phải ghi nhớ toàn bộ những gì chúng tôi đã nói trong chủ thể này. Chỉ cần nghĩ rằng Âm nhạc không tới từ đâu cả. Âm nhạc là tác dụng của việc tổ chức triển khai số học. Việc lý giải tất cả những điều này được thực hiện bởi cỗ não tuyệt vời nhất và bí hiểm của bọn chúng ta.

Kết luận ở đầu cuối là, nếu như khách hàng là một nhạc sĩ, thì các bạn cũng là (theo cách này hay bí quyết khác) công ty toán học, chính vì những xúc cảm thích thú mà bạn cảm thấy trong khi nghe tới nhạc chứa đựng những phép toán cao siêu. Bộ não của mình thích tính toán, nó là một máy bộ tính! bạn càng luyện tập, nghiên cứu và phân tích và biết nhiều hơn thế về Âm nhạc, càng có không ít khả năng được vạc triển. Có lẽ bạn sẽ bắt đầu cảm thấy yêu thích khi nghe những bài bác hát cũ mà lại trước đó không sở hữu lại xúc cảm tuyệt vời mang đến bạn. Bạn cũng có thể so sánh điều đó với một sinh viên đồ dùng lý trong học kỳ đầu tiên. Nếu như anh ta đọc một cuốn sách thiết bị lý hiện đại, nó sẽ y như đọc tiếng Hy Lạp cùng với anh ta. Nó sẽ không cho anh ta ngẫu nhiên niềm vui nào. Tuy nhiên một vài năm sau đó, khi anh ta đã có một cơ sở Toán học xuất sắc và phải đương đầu với cuốn sách này một đợt nữa, chắc hẳn rằng anh ta sẽ yêu thích chủ đề cùng ước muốn dành phần còn sót lại của cuộc sống mình mang đến nó.