Tổng hợp kỹ năng và kiến thức cần nạm vững, các dạng bài bác tập và câu hỏi có tài năng xuất hiện nay trong đề thi HK2 Toán học 11 sắp tới

Phần 1

GIỚI HẠN

I. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Hàng số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói hàng số (left( u_n ight)) có số lượng giới hạn là số thực (L) ví như (mathop lim limits_n o + infty left( u_n - L ight) = 0).

Bạn đang xem: Lý thuyết toán 11 học kì 2

Khi đó, ta viết: (mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = L), viết tắt là (lim left( u_n ight) = L) hoặc (lim u_n = L).

Định lý 1: Giả sử (lim u_n = L). Lúc đó:

i) (lim left| u_n ight| = left| L ight|) cùng (lim sqrt<3>u_n = sqrt<3>L).

ii) nếu (u_n ge 0) với tất cả (n) thì (L ge 0) cùng (lim sqrt u_n = sqrt L )

Định lý 2: Giả sử (lim u_n = L,lim v_n = M) với (c) là 1 trong hằng số. Lúc đó:

i) những dãy số (left( u_n + v_n ight),left( u_n - v_n ight),left( u_n.v_n ight)) và (left( c.u_n ight)) có số lượng giới hạn là:

+) (lim left( u_n + v_n ight) = L + M)

+) (lim left( u_n - v_n ight) = L - M)

+) (lim left( u_n.v_n ight) = L.M)

+) (lim left( c.u_n ight) = c.L)

ii) trường hợp (M e 0) thì hàng số (left( fracu_nv_n ight)) có số lượng giới hạn là (lim fracu_nv_n = fracLM).

Một số dãy số gồm giới hạn thường gặp:

+) (lim frac1n = 0,lim frac1sqrt n = 0,lim frac1sqrt<3>n = 0,...)

+) nếu (left| q ight| Chú ý: Định lý bên trên vẫn hợp lý cho trường phù hợp (x o x_0^ + ,x o x_0^ - ,)(x o + infty ,x o - infty )

2. Định lí về số lượng giới hạn một bên

()(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L)( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0^ - f(x) = mathop lim limits_x o x_0^ + f(x) = L)

3. Các phép tắc tìm giới hạn vô rất của hàm số

+) giả dụ (mathop lim limits_x o x_0 left| fleft( x ight) ight| = + infty )thì (mathop lim limits_x o x_0 frac1fleft( x ight) = 0)

+ Bảng quy tắc

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: (S = fracu_11 - q,|q| ­0 thì (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = f(x_0))

3. (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^n = 0) (với n > 0)

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác minh trên khoảng tầm K cùng (x_0 in K).

Hàm số y = f(x) được call là tiếp tục tại (x_0) ví như (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight)).

2. Một số định lý cơ bản

ĐL 1:

- Hàm số nhiều thức liên tục trên R.

- Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác tiếp tục trên từng khoảng tầm của tập xác minh của chúng.

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, yêu mến của nhị hàm số liên tục tại (x_0) là gần như hàm số tiếp tục tại (x_0) (trường phù hợp thương thì mẫu bắt buộc khác 0 trên (x_0)).

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tiếp trên (left< a;b ight>) với f(a).f(b) Phương pháp:

- Sử dụng các quy tắc sẽ học để tính.

- Nếu giới hạn của hàm số yêu cầu tính có một trong những bốn dạng (frac00); (fracinfty infty ); (infty - infty ); 0.∞ thì ta buộc phải khử dạng đó, bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản mong hoặc nhân lượng phối hợp hoặc phân chia cả tử cùng mẫu đến xk với k là mũ tối đa của tử hoặc mẫu...Cụ thể:

* Dạng (frac00):

- nếu như tử, mẫu mã là hầu hết đa thức thì ta đặt thừa số (left( x - x_0 ight)) có tác dụng nhân tử thông thường và rút gọn gàng nhân tử này ta sẽ chuyển được giới hạn về dạng xác định.

- nếu tử tốt mẫu gồm chứa căn thức thì nhân tử và mẫu mã với lượng liên hợp của tử hoặc mẫu và cũng rút gọn gàng thừa số (left( x - x_0 ight))ở tử và mẫu mã ta sẽ chuyển được giới hạn về dạng xác định.

Cần để ý các công thức biến đổi sau:

(eginarrayla pm b = fraca^2 - b^2a mp b\a pm b = fraca^3 pm b^3a^2 mp ab + b^2endarray)

+ nếu như PT f(x) = 0 bao gồm nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)

+ liên hợp của biểu thức:

1.(sqrt a - sqrt b ) là (sqrt a + sqrt b )

2. (sqrt a + sqrt b ) là (sqrt a - sqrt b )

3.(sqrt<3>a - b) là (sqrt<3>a^2 + sqrt<3>a.b + b^2)

4. (sqrt<3>a + b) là (sqrt<3>a^2 - sqrt<3>a.b + b^2)

Ví dụ: Tìm những giới hạn sau: 

a) (mathop mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2limits_ )

b) (mathop mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1limits_ )

Giải:

(eginarrayla),,,mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x^2 - 4 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x - 2 ight)left( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2 = frac4.84 = 8endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2 = 8.)

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1\ = mathop lim limits_x o 1 frac4 - left( 3x + 1 ight)left( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac3 - 3xleft( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x - 1 ight)left( x - 1 ight)left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = frac - 3left( 1 + 1 ight)left( 2 + sqrt 3.1 + 1 ight) = - frac38endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1 = - frac38.)

* Dạng (fracinfty infty ):

- phân tách cả tử cùng mẫu mang đến xk với k là mũ tối đa của tử hoặc mẫu.

- tiếp nối dùng các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương thuộc giới hạn (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^k = 0) với k nguyên dương.

Ví dụ:Tìm các giới hạn sau: 

a) (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4)

b) (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3)

Giải:

(eginarrayla),,mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 - frac16x^3 + frac2x^41 - frac2x^2 + frac4x^4\ = frac3 - 0 + 01 - 0 + 0 = 3endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4 = 3).

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3\ = mathop lim limits_x o - infty fracfrac1x - frac5x^2 + frac1x^3frac10x^3 - 2\ = frac0 - 0 + 00 - 2 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3 = 0)

* Dạng (infty - infty ):

- nếu (x o x_0) thì ta quy đồng chủng loại số để mang về dạng (frac00).

- Nếu (x o pm infty ) thì ta nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng (fracinfty infty ).

Ví dụ: Tìm những giới hạn sau:

a) (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight))

b) (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight))

Giải:

a) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( frac1 + x + x^2 - 31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( fracx^2 + x - 21 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1 ight)left( x + 2 ight)left( 1 - x ight)left( 1 + x + x^2 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - x - 21 + x + x^2 = - 1endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight) = - 1)

b) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight)\ = mathop lim limits_x o + infty fracleft( 4x^2 + 3x + 1 ight) - 4x^2sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3x + 1sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 + frac1xsqrt 4 + frac3x + frac1x^2 + 2\ = frac32 + 2 = frac34endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight) = frac34).

* Dạng 0.∞

- Để khử dạng này thì ta cần triển khai một số thay đổi như chuyển thừa số vào trong vết căn, quy đồng mẫu mã số,...ta có thể đưa số lượng giới hạn đã mang lại về dạng thân quen thuộc.

Ví dụ: Tìm số lượng giới hạn sau: (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 ).

Giải: Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)left( x - 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)^2left( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = 3.0 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 = 0).

Xem thêm: Những ngày văn học đông âu, phương tây hiện đại, văn học đông âu, phương tây hiện đại

2. Dạng 2: Tính tổng của CSN lùi vô hạn

- thực hiện công thức: (S = fracu_11 - q,|q| Ví dụ: Tính tổng (S = - 1 + frac110 - frac110^2 + ... + fracleft( - 1 ight)10^n - 1^n + ...)

Giải:

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với (u_1 = - 1) cùng q = ( - frac110).

Vậy (S = frac - 11 - left( - frac110 ight) = - frac1011).

3. Dạng 3: Xét tính thường xuyên của hàm số

3.1 Xét tính thường xuyên của hàm số trên điểm:

- Dạng I: cho h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx e x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&khieginarray*20cx = x_0&endarrayendarrayendarray ight.)

Xét tính liên tiếp của h/s trên điểm x0?

Phương pháp chung:

B1: kiếm tìm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) = f(x0) ( Rightarrow ) KL liên tiếp tại x0

- Dạng II: mang đến h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx ge x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&{khieginarray*20cx 0?

3.2 Xét tính tiếp tục của hàm số bên trên một khoảng

Phương pháp chung:

B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn

B2: Xét tính liên tục của h/s tại những điểm giao

B3: Kết luận

3.3 Tìm điều kiện của tham số để hàm số tiếp tục tại x0

Phương pháp chung:

B1: tìm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: Hàm số liên tục tại (x_0) ( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight))

3.4 Sử dụng tính tiếp tục của hàm số để chứng tỏ phương trình bao gồm nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT tất cả nghiệm bên trên (left< a;b ight>):

B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) 2: khám nghiệm tính liên tiếp của hàm số f(x) bên trên (left< a;b ight>)

B3: tóm lại về số nghiệm của PT bên trên (left< a;b ight>)

Ví dụ: CMR phương trình (x^7 + 3x^5 - 2 = 0) có ít nhất một nghiệm

Xét hàm số (fleft( x ight) = x^7 + 3x^5 - 2) tiếp tục trên R phải f(x) thường xuyên trên <0;1>

Và (left. eginarray*20cfleft( 0 ight) = - 2 0endarray ight Rightarrow fleft( 0 ight).fleft( 1 ight)

Mua tài khoản hocfull.com Pro để thử khám phá website hocfull.com KHÔNG quảng cáo & tải File cực nhanh chỉ còn 79.000đ. Tìm hiểu thêm

Sổ tay tra cứu vớt nhanh kỹ năng và kiến thức môn Toán 11 học tập kì 2 là tư liệu vô cùng hữu dụng dành cho chúng ta học sinh lớp 11 ôn luyện. Tài liệu cầm tắt kỹ năng trọng tâm, những dạng bài thường gặp mặt nhằm giúp học sinh dễ dãi tìm kiếm, ghi nhớ, vận dụng kiến thức và kỹ năng vào quá trình làm bài bác và tiếp thu kiến thức một biện pháp hiệu quả.

Lý thuyết Toán 11 học tập kì 2 mà hocfull.com ra mắt dưới đây sẽ giúp cho các em ôn tập kiến thức một bí quyết hiệu quả, định hướng đúng trong quá trình ôn tập và giúp những em tiết kiệm ngân sách và chi phí tối đa thời gian học tập. Mong muốn tài liệu này đã là đông đảo người bạn thân thiết, cùng bạn sát cánh đồng hành trên hành trình chinh phục mục tiêu 9+ môn Toán. Vậy tiếp sau đây là toàn bộ kiến thức kim chỉ nan Toán 11 học kì 2 mời các bạn cùng theo dõi và cài tại đây.

Tổng hợp kiến thức và kỹ năng học kì 2 môn Toán lớp 11

I. Dãy số

1. Hàng số.

a. Tổng quan về dãy số.b. Dãy số tăng – dãy số giảm.c. Dãy số bị chặn trên – dãy số bị ngăn dưới – hàng số bị chặn.

2. Cung cấp số cộng (CSC).

3. Cấp cho số nhân (CSN).

II. Giới hạn

1. Số lượng giới hạn của dãy số.

Dãy số có số lượng giới hạn hữu hạn.Dãy số có số lượng giới hạn vô cực.

2. Số lượng giới hạn của hàm số.

Giới hạn hữu hạn của hàm số trên một điểm.Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.Giới hạn vô cực của hàm số.Các dạng vô định.Hàm số liên tục.

III. Đạo hàm

Đạo hàm tại một điểm.Quy tắc tính đạo hàm.Công thức tính đạo hàm.Phương trình tiếp đường với đồ dùng thị của hàm số.Vi phân.Đạo hàm cung cấp cao.Ý nghĩa của đạo hàm trong đồ dùng lí.

IV. Quan tiền hệ tuy vậy song trong ko gian

Đường thẳng tuy nhiên song với khía cạnh phẳng.Hai mặt phẳng tuy nhiên song.Xác định thiết diện.

V. Véctơ trong không gian

Các phép toán véctơ.Các quy tắc.Chứng minh 3 véctơ đồng thẳng.

VI. Quan hệ nam nữ vuông góc trong ko gian

Đường trực tiếp vuông góc với mặt phẳng.Góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳng.Hai khía cạnh phẳng vuông góc.Góc thân hai phương diện phẳng.Khoảng phương pháp từ một điểm đến một phương diện phẳng.Khoảng biện pháp giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Nội dung chi tiết lý thuyết Toán 11 học kì 2

I. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

1. Hàng số

a. Tổng quan về dãy số:

- dãy số hữu hạn là hàng số mà ta biết được số hạng đầu và số cuối.

Ví dụ: hàng số

: 1,2,3,4,5 là 1 trong những dãy số hữu hạn gồm 5 số hạng và tất cả số hạng đầu là , số hạng cuối ứng cùng với số hạng sản phẩm công nghệ năm là .

- dãy số vô hạn là dãy số cơ mà ta hiểu rằng số hạng đầu cùng số hạng tổng quát được màn trình diễn qua công thức.

Ví dụ: Dãy số

tuyệt ta viết dưới dạng khai khai triển là . Đây là hàng số vô hạn gồm số hạng đẩu là và số hạng tổng quát

- dãy số thường được màn biểu diễn dưới 3 dạng sau:

Dang 1: màn biểu diễn dưới dạng khai triển, ví dụ:

Dang 2: biểu diễn dưới dạng công thức của số hạng tổng quát, ví dụ:

Nói một cách khác, cho 1 dãy số bởi công thức truy hỏi hồi, tức là:

Cho số hạng đầu và mang lại hệ thức truy nã hồi là hệ thức biểu thị số hạng trang bị n qua số hạng đứng trước nó.

b. Hàng số tăng - dãy số giảm:

- dãy số tăng là dãy số cơ mà số hạng sau lớn hơn số hạng trước, tức là:

là hàng số tăng thì

Ví du: dãy số

: 1,4,9,16,  là các dãy số tăng.

- hàng số sút là hàng số nhưng số hạng sau nhỏ dại hơn số hạng trước, tức là:

là hàng số giảm thì

Ví dụ: dãy số

 là những dãy số giảm.

- có 2 cách minh chứng dãy số tăng - dãy số sút như sau:

Cách 1: Xét hiệu của biểu thức

Nếu H>0 thì hàng số

là hàng số tăng. Trường hợp H1 thì dãy số là dãy số tăng. Nếu như T

Nếu

thì dãy số  bị ngăn trên do số M.

- hàng số bị chặn dưới là dãy số gồm số hạng tổng quát to hơn hoặc bằng một số, tức là:

Nếu

thì dãy số bị ngăn dưới vị số m.

3. Cung cấp số nhân (CSN)

- CSN là dãy số mà tính từ lúc số hạng máy hai trở đi, mỗi số hạng bởi tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó nhân với một trong những không thay đổi (q được điện thoại tư vấn là công bội), tức là:

- nếu

là 1 trong CSN thì số hạng bao quát

- giả dụ

là 1 trong CSN thì tổng của n số hạng

- nếu

là 1 trong những CSN thì kể từ số hạng lắp thêm hai trở đi, bình phương mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng ngay lập tức trước cùng số hạng đứng ngay lập tức sau nó, tức là: